三角函数积化和差公式

积化和差，指初等数学三角函数部分的一组恒等式。三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。今天给大家详细介绍三角函数积化和差公式，一定要认真阅读，有助于解答问题。

三角函数积化和差公式

sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]

三角函数的和差化积公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

和差化积公式推导：

首先，我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb，sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以，sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同样的，我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb，cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以，把两式相加，我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我们就得到，cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理，两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

这样，我们就得到了积化和差的四个公式：

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式。

我们把上述四个公式中的a+b设为x，a-b设为y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2

把a，b分别用x，y表示就可以得到和差化积的四个公式：

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

三角函数

三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何、物理、工程和许多其他领域都有着广泛的应用。三角函数是一类周期性函数，它们描述了角度和长度之间的关系。在本文中，我们将介绍三角函数的基本概念、性质和应用。

首先，让我们来看看三角函数的基本定义。在直角三角形中，三角函数是角度的函数，它们描述了角度和三角形边长之间的关系。在三角函数中，最常见的三个函数是正弦函数、余弦函数和正切函数。这些函数分别表示了角度的正弦值、余弦值和正切值。正弦函数通常用sin表示，余弦函数用cos表示，正切函数用tan表示。这些函数的定义如下：

正弦函数：sin（θ） = 对边/斜边

余弦函数：cos（θ） = 邻边/斜边

正切函数：tan（θ） = 对边/邻边

这些定义是基于直角三角形的，但是它们也可以用于任意角度的三角形。在这种情况下，我们可以使用单位圆来定义三角函数。单位圆是一个半径为1的圆，它与x轴和y轴的交点定义了一个角度。在单位圆上，正弦函数表示了角度对应点的y坐标，余弦函数表示了角度对应点的x坐标，而正切函数表示了y坐标和x坐标的比值。这种定义使得三角函数可以用于任意角度的三角形，并且可以推广到复数域中。

三角函数性质

1. 三角函数的定义域

三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实际上就是解最简单的三角不等式（组），通常可用三角函数的图象或三角函数线来求解。注意数形结合思想的应用。

2. 三角函数的单调性

（1）若函数y＝Asin(ωx＋φ)中A>0，ω<0，可用诱导公式将函数变为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间为原函数的减区间；减区间为原函数的增区间。

对于函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调性的讨论与上类似。

(2)比较三角函数值的大小，往往是利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名三角函数值，再利用单调性比较。

3. 周期性

sin函数周期为2π。

cos函数周期为2π。

tan函数周期为π。

4. 奇偶性

sin函数是奇函数。

cos函数是偶函数。

tan函数是奇函数。

5.图像性质

y=sinx

中心对称：关于点(kπ,0)对称

轴对称：关于x=kπ+π/2对称

y=cosx

中心对称：关于点(kπ+π/2,0)对称

轴对称：关于x=kπ对称

y=tanx

中心对称：关于点(kπ/2,0)对称

三角函数的值域问题主要有两种类型

一种是化为y=Asin（ωx＋φ）＋B

另一种是化为关于sinx.cosx或tanx的二次函数。

第一种类型可利用三角函数的性质及不等式的性质求得，第二种类型可换元转化为二次函数，借助二次函数的性质求得。

不管哪种类型，都要注意角的范围。

尤其第一种类型，类比正弦函数画图象是关键，在求解中会简便很多。

三角函数实际应用

1、三角函数在几何中的应用

（1）角度与弧度的转换：在几何学中，角度和弧度是描述角的大小的两种方式。通过三角函数，我们可以实现角度和弧度之间的转换，这对于解决一些与角度相关的几何问题非常有用。

（2）三角形的解法：三角函数在解三角形问题中发挥着重要作用。已知三角形的两边和夹角，或者两角和一边，我们可以利用正弦定理、余弦定理等方法求出三角形的其他边或角。这对于研究三角形的性质和解决实际问题具有重要意义。

（3）空间几何中的应用：在空间几何中，三角函数被用来描述空间中点、线、面之间的关系。例如，通过球坐标系中的三角函数，我们可以表示空间中任意一点的位置；在圆柱坐标系中，三角函数可以帮助我们描述点的位置以及与坐标轴之间的关系。

2、三角函数在物理中的应用

（1）振动与波动：在物理学中，振动和波动现象是常见的。三角函数可以用来描述这些现象中的周期性变化。例如，简谐振动的位移与时间的关系可以用正弦或余弦函数表示；波动中的波函数也可以用三角函数表示。

（2）力学中的应用：在力学中，三角函数被用来描述物体的运动状态。例如，在斜面上的物体下滑时，其加速度可以分解为水平和竖直两个方向的分量，这两个分量可以用三角函数表示。此外，在研究抛体运动、圆周运动等问题时，也需要用到三角函数。

（3）电磁学中的应用：在电磁学中，三角函数被用来描述电场和磁场的分布以及电磁波的传播。例如，交流电中的电压和电流随时间的变化可以用正弦函数表示；电磁波的传播方向可以用三角函数描述其与空间坐标的关系。

3、三角函数在工程中的应用

（1）信号处理：在工程领域中，信号处理是一个重要分支。三角函数被用来表示和处理各种信号波形。例如，在音频处理中，声音信号可以被分解为不同频率的正弦波；在图像处理中，图像的灰度值可以被看作是随空间位置变化的三角函数。

（2）电路设计：在电路设计中，三角函数被用来分析交流电路中的电压、电流和功率等参数。通过傅里叶分析等数学工具，我们可以将复杂的电路信号分解为一系列简单的三角函数之和或之积的形式，从而简化电路设计和分析过程。

（3）机械工程：在机械工程中，三角函数被用来描述机械零件的形状和运动轨迹。例如，在设计齿轮、凸轮等机械零件时，需要用到三角函数的性质来计算其形状和尺寸；在研究机械运动时，需要用到三角函数来描述物体的位移、速度和加速度等参数。