三角函数特殊值

三角函数，又叫圆函数、角函数或测角函数，基本初等函数之一，三角函数建立在三角形的边和角之间关系的基础上，将直角三角形的内角和它的两边的比值相关联，亦可以用单位圆的各种有关线段的长来定义。其中三角函数有一些特殊值，让我们一起来看看吧。

三角函数特殊值

1、α=0°：sinα=0、cosα=1、tαnα=0、cotα→∞、secα=1、cscα→∞

2、α=15°(π/12)：sinα=(√6-√2)/4、cosα=(√6+√2)/4、tαnα=2-√3、cotα=2+√3、secα=√6-√2、cscα=√6+√2

3、α=22.5°(π/8)：sinα=√(2-√2)/2、cosα=√(2+√2)/2、tαnα=√2-1、cotα=√2+1、secα=√(4-2√2)、cscα=√(4+2√2)

4、a=30°(π/6)：sinα=1/2、cosα=√3/2、tαnα=√3/3、cotα=√3、secα=2√3/3 cscα=2

5、α=45°(π/4)：sinα=√2/2、cosα=√2/2、tαnα=1、cotα=1、secα=√2、cscα=√2

6、α=60°(π/3)：sinα=√3/2、cosα=1/2、tαnα=√3、cotα=√3/3、secα=2、cscα=2√3/3

7、α=67.5°(3π/8)：sinα=√(2+√2)/2、cosα=√(2-√2)/2、tαnα=√2+1、cotα=√2-1、secα=√(4+2√2)、cscα=√(4-2√2)

8、α=75°(5π/12)：sinα=(√6+√2)/4、cosα=(√6-√2)/4、tαnα=2+√3、cotα=2-√3、secα=√6+√2、cscα=√6-√2 

9、α=90°(π/2)：sinα=1、cosα=0、tαnα→∞、cotα=0、secα→∞、cscα=1

10、α=180°(π)：sinα=0、cosα=-1、tαnα=0、cotα→∞、secα=-1、cscα→∞

11、α=270°(3π/2)：sinα=-1、cosα=0、tαnα→∞、cotα=0、secα→∞、cscα=-1

12、α=360°(2π)：sinα=0、cosα=1、tαnα=0、cotα→∞、secα=1、cscα→∞

黄金三角

1、α=18°(π/10)：sinα=(√5-1)/4、cosα=√(10+2√5)/4、tαnα=√(25-10√5)/5、cscα=√5+1、secα=√(50-10√5)/5、cotα=√(5+2√5)

2、α=36°(π/5)：sinα=√(10-2√5)/4、cosα=(√5+1)/4、tαnα=√(5-2√5)、cscα=√(50+10√5)/5、secα=√5-1、cotα=√(25+10√5)/5

3、α=54°(3π/10)：sinα=(√5+1)/4、cosα=√(10-2√5)/4、tαnα=√(25+10√5)/5、cscα=√5-1、secα=√(50+10√5)/5、cotα=√(5-2√5)

4、α=72°(2π/5)：sinα=√(10+2√5)/4、cosα=(√5-1)/4、tαnα=√(5+2√5)、cscα=√(50-10√5)/5、secα=√5+1、cotα=√(25-10√5)/5

通过比较可发现与黄金三角形相关的三角函数值有很强的对称性，这些数值的证明可以借助黄金三角形中的比例。

三角函数特殊值口诀

1、口诀记忆法

口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦是二，切是三，分子根号不能删。”

前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值。

弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3。最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，不能丢掉。

如tan60°=根号27/3=根号3，tan45°=根号9/3=1。这种方法有趣、简单、易记。

2、规律记忆法

观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律：

①有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜sinα＜90°时，则0＜sinα＜1；0＜cosα＜1；tanα＞0；cotα＞0。

②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A＜B＜90°时，则sinA＜sinB；tanA＜tanB；cosA＞cosB；cotA＞cotB；特别地：若0°＜α＜45°，则sinA＜cosA；tanA＜cotA；若45°＜A＜90°，则sinA＞cosA；tanA＞cotA。