等比数列求和公式

如果一个数列从第二项起，每一项和它前一项的比都等于一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数就是这个式子的公比。前一项与后一项的比值相等（商相等），这种数连续相加就叫做等比求和。其有一个固定的规律形成了一个公式，接下来将详细介绍。

等比数列求和公式

求和公式：Sn=n*a1（q=1）

Sn=a1（1-q^n）/（1-q）

=（a1-a1q^n）/（1-q）

=a1/（1-q）-a1/（1-q）*q^n（即a-aq^n）

（前提：q不等于1）

等比数列相关公式

1、等比数列：a（n+1）/an=q，n为自然数。

2、通项公式：an=a1*q^（n-1）。

3、推广式： an=am·q^（n-m）。

性质：

①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am·an=ap*aq。

②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。

③G是a、b的等比中项，G^2=ab（G≠0）。

④在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。

注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

等比数列求和公式推导三种方法

1、作差法

Sn=a1+a2+a3+...+an（公比为q）

q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q 　　

=a2+a3+a4+...+a（n+1） 　　

Sn-q*Sn=a1-a（n+1） 　　

（1-q）Sn=a1-a1*q^n

Sn=（a1-a1*q^n）/（1-q）

Sn=（a1-an*q）/（1-q）

Sn=a1（1-q^n）/（1-q）

2、等比数列定义法

a2=a1*q

a3=a2*q

a（n-1）=a（n-2）*q

an=a（n-1）*q 共n-1个等式两边分别相加得

a2+a3+...+an=[a1+a2+...+a（n-1）]*q

即Sn-a1=（Sn-an）*q，即（1-q）Sn=a1-an*q

当q≠1时，Sn=（a1-an*q）/（1-q） （n≥2）

当n=1时也成立

当q=1时Sn=n*a1

所以Sn= n*a1（q=1） ；（a1-an*q）/（1-q） （q≠1）。

3、数学归纳法

证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1·q0=a1，等式成立；

（2）假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，等式成立，即ak=a1qk-1；

当n=k+1时，ak+1=ak·q=a1qk=a1·q（k+1）-1；

这就是说，当n=k+1时，等式也成立；

由（1）（2）可以判断，等式对一切n∈N*都成立。

等比数列的概念

1、等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于一个常数（不为0），那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q来表示。

定义可以用公式表达为：a（n+1）/an=q（式中n为正整数，q为常数）。特别注意的是，q是一个与项数n无关的常数

2、等比中项：

三个数 a、G、b依次组成等比数列，则G叫做的等比中项，且G2=a+b（等比中项的平方等于前项与后项之积）。

等比数列求和例题解析

求1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024的和。

通过观察，会发现这个数列的后一项比上前一项都是2。

2÷1=2；

4÷2=2；

8÷4=2；

……

1024÷512=2。

所以这个题目就是典型的等比数列求和题，公比是2。

利用错位相减法，令A=1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024，会得到什么呢？

2A=2+4+8+16+32+128+256+512+1024+2048，

这样我们构造出了一个新数列，而且这个数列的和等于原数列乘以公比。

再将两个式子相减，

左边是2A-A=A；

右边是2048-1；

等式右边其余的项都已经抵消了。

这样我们就得出结果了，1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024=2047。