等差数列求和公式

等差数列求和公式是指对于一个等差数列，可以通过特定的公式来计算这个数列的前n项和。有了这个公式，大家在解题的时候可以直接带入公式计算，省了很多的时间。不过对于这个公式的理解大家还是要清楚的掌握的，便于准确的记忆和应用。

等差数列求和公式

等差数列求和公式是指若一个等差数列的首项为a1，公差为d，末项为an，那么这个等差数列的前n项和Sn就可以用等差数列求和公式来表示，即Sn=n/2（a1+an）。

这个公式是数学中非常重要的一项基本公式，求和公式的应用极为广泛，可以解决许多数学问题。掌握了等差数列求和公式的原理和方法，不仅可以帮助我们对各种数学问题进行快速计算，而且可以帮助我们更好的理解数学中的各种概念和定理。

等差数列求和公式推导

1、假设公差为d的等差数列前n项和为Sn：

Sn=a1+a2+a3+——+an

2、将数列中的每一项倒序排列，并将等差数列的规律添入：

Sn=a1+（a1+d）+（a1+2d）+——+[a1+（n-1）d]

3、将公式中的每一项添上第一项和最后一项，然后全部除以2：

Sn={a1+a1+（n-1）d}×n/2

4、根据等差数列的通项公式，将公式中的a1和an用n和d代替：

Sn={n[a1+ a1+（n-1）d]} / 2

5、为了让公式更加通用，将a1+a1+（n-1）d的和记为2a1+（n-1）d：

Sn={n[2a1+（n-1）d]} / 2

即可得到等差数列求和公式。因此，对于任意长度为n的等差数列，可以使用公式S n={n[2a1+（n-1）d]} / 2来求和。

等差数列常见性质

1、在有限等差数列中，与首末项“等远”的两项之和等于首末项之和。

2、一个数列是等差数列（d不为0）的充要条件是这个数列的通项an是n的一次函数。

3、一个数列是等差数列（d不为0）的充要条件是这个数列的前n项和Sn是n的二次函数。且常数项为0。

等差数列解题方法

1、等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程（组）求解。

2、等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想。

3、根据题意分析选用等差数列的性质，若涉及通项an，则选用通项的有关性质，若涉及前n项和Sn，则选用Sn的性质。

4、求等差数列前n项和的最值的方法

（1）运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解。

（2）通项公式法：求使an≥0（an≤0）成立时最大的n值即可。一般地，等差数列{an}中，若a1＞0，且Sp＝Sq（p≠q），则：

①若p+q为偶数，则当n＝（p+q）/2时，Sn最大；

②若p+q为奇数，则当n＝（p+q-1）/2或n＝（p+q+1）/2时，Sn最大。

5、判断数列{an}是等差数列的常用方法

（1）定义法。

（2）等差中项法。

（3）通项公式法：数列的通项公式an是n的一次函数。

（4）前n项和公式法：数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0。

注：定义法和等差中项法常用于等差数列的证明。

6、若三个数成等差数列可设为a，a+d，a＋2d或a-d，a，a+d，

若四个数成等差数列可设为a，a+d，a+2d，a+3d或a-3d，a-d，a+d，a+3d。

例题：

已知数列｛aₙ｝是首项为a₁=1，公差值为d=3的等差数列，如果aₙ=2005，则n为（ ）。

思路分析：直接利用等差数列的通项公式进行求解。

解析：将已知条件代入通项公式aₙ =a₁+（n-1）d中，可以得出：2005=1+3（n-1）⇒n=699。