π是无理数的证明

众所周知，可以说，π是世界上最有名的无理常数了，代表的是一个圆的周长与直径之比或称为“圆周率”。而对于这个结论的证明经历了很长时间，赶快让我们来看看吧。

π是无理数的证明

我们都知道圆周率π，π的定义是一个圆的周长和这个圆的直径的比值。

π=圆周长：直径。

圆周长=直径×π=2R×π=2πR。

我国古代著名数学家祖冲之利用割圆术将π精确计算到小数点后第7位，这种精度领先西方数学500多年。

3.1415926＜π＜3.1415927。

大约在2000多年前，人们就已经发现了圆周率π。从直觉上来看，π显然应该是一个无理数，也就是一个无限不循环小数。但直觉是不靠谱的，我们必须严格证明才能真正地让所有人信服。关于π是无理数的严格证明直到近200年，数学家们才通过理论严格证明了这一结论。

数学家们是通过反证法进行证明的：

假设π不是无理数，那么π是有理数，π可以表示成一个既约分数。

令π=b/a＞0，

这里a和b都是正整数，a，b∈N*，

并且a和b互质，或者说约成最简整分数，(a，b)=1，

然后构造了一个函数，f(x)=[(x^n)×(b-ax)^n]/n!。

经过一系列求导和求积分，最终得出与假设矛盾，从而推出假设错误，进而证明π是无理数。

π的相关知识

1、π是世界上最公认的数学常数。学者们经常认为π是所有数学中最重要和最有趣的数字。

2、π的符号仅在过去的250年中在数学意义上被定期使用。

3、吉萨的大金字塔似乎与π近似，这使得埃及学家和神秘主义的追随者着迷。金字塔的垂直高度与其底边的周长具有相同的关系，因为圆的半径与其圆周有关。

4、我们永远无法真正测量圆的周长或面积，因为我们永远无法真正知道π的值。π是一个无理数，意味着它的数字在一个看似随机的序列中永远存在。

5、字母π是希腊字“周边”和“周长”的第一个字母。数学中的符号π表示圆周长与直径的比值。换句话说，π是圆的直径围绕其圆周的次数。

6、如果使用π四舍五入到小数点后9位来计算地球的周长，则会导致25000英里内的误差不超过四分之一英寸。

7、1995年，高土广洋背出了π小数点以后42195位，并被认为是目前的π记忆冠军。一些学者推测日语比其他语言更适合记忆数字序列。

8、π的前144位数加起来和等于666。并且144＝（6+6）x（6+6）。

9、威廉·尚克斯（WilliamShanks，1812-1882）花了多年时间手工计算出了π的小数点后707位数字。不幸的是，他在第527位之后犯了一个错误，因此，下面的数字都是错误的。

10、2002年，一位日本科学家使用名为HitachiSR8000的强大计算机计算出了圆周率小数点后1.24万亿位数字，打破了之前的所有记录。

11、由于圆圈中有360度并且π与圆圈紧密相连，因此一些数学家很高兴地发现数字360位于π的第359位。

12、π已经被人类研究了近4000年。到公元前2000年，巴比伦人将恒定圆比率确定为3又1/8或3.125。古埃及人的计算值略有不同，分别为3又1/7或3.143。

13、π的前一百万位小数位包括99959个0，99758个1，100026个2，100229个3，100230个4，100359个5，99548个6，99800个7，99985个8和100106个9。

14、中国人比西方人更早地获得了精确的π值。中国人比世界上大多数人有两个优点：他们使用十进制符号，他们使用符号零。欧洲数学家在中世纪晚期受到印度和阿拉伯思想家的影响，不会使用象征性的零。

15、古代数学家试图通过越来越多的边的内接多边形来计算π，这些边将更接近圆的区域。阿基米德使用了96边形。中国数学家刘晖用了一个192边形，然后是一个3072边形来计算π，并精确到3.14159。祖冲之和他的儿子用多达24576个边的多边形来计算π，结果与现在接受的π值相差只有8百万分之一。

16、在π的前一百万个数字中没有出现序列123456，但是出现了八个12345，序列012345出现两次。

17、π也被称为“循环常数”，“阿基米德常数”或“鲁道夫数”。

18、π的前六位数字（3.14159）在π的前1000万个小数位中至少出现六次。

19、“πDay”于3月14日庆祝。官方庆祝活动于下午1：59开始，因为日期时间结合起来就是3.14159。阿尔伯特爱因斯坦出生于德国乌尔姆符腾堡州的π日（1879年3月14日）。

20、π的前三十九个小数位足以计算以已知宇宙的圆周，其误差不大于氢原子的半径。