正多边形的内角和公式

正多边形是我们数学中的一个特殊的研究对象，其内角和公式是一个基础但重要的考点。接下来是对其公式的介绍和相关定理的证明，便于大家更好的理解和掌握这个概念。

正多边形的内角和公式

〔n-2〕×180°（n为边数）。

多边形内角和定理证明

证法一：在n边形内任取一点O，连结O与各个顶点，把n边形分成n个三角形。

因为这n个三角形的内角的和等于n·180°，以O为公共顶点的n个角的和是360°。

所以n边形的内角和是n·180°-2×180°=（n-2）·180°。（n为边数）

即n边形的内角和等于（n-2）×180°。（n为边数）

证法二：连结多边形的任一顶点A1与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n-2）个三角形。

因为这（n-2）个三角形的内角和都等于（n-2）·180°（n为边数）。

所以n边形的内角和是（n-2）×180°。

证法三：在n边形的任意一边上任取一点P，连结P点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n-1）个三角形。

这（n-1）个三角形的内角和等于（n-1）·180°（n为边数）。

以P为公共顶点的（n-1）个角的和是180°。

所以n边形的内角和是（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°。（n为边数）

正多边形的一些结构特点和特性

1、正六边形

正多边形是指二维平面内各边相等，各角也相等的多边形，也叫正多角形。

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。

正多边形的外接圆的半径叫做半径。

中心到圆内切正多边形各边的距离叫做边心距。

正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个圆心角叫做正多边形的中心角。

2、外接圆

把圆分为n（n≥3）等份，依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的内接正n边形，也就是正n边形的外接圆。

3、内切圆

把圆分为m（m≥3）等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正m边形，也就是正m边形的内切圆。

4、内角

正n边形的内角和度数为：（n-2）×180°。

正n边形的一个内角是：（n-2）×180°÷n。

5、外角

正n边形外角和等于：n·180°-（n-2）·180°=360°。

所以正n边形的一个外角为：360°÷n。

所以正n边形的一个内角也可以用这个公式：180°-360°÷n。

6、中心角

任何一个正多边形，都可作一个外接圆，多边形的中心就是所作外接圆的圆心，所以每条边的中心角，实际上就是这条边所对的弧的圆心角，因此这个角就是360度÷边数。

正多边形中心角：360°÷n。

因此可证明，正n边形中，外角=中心角=360°÷n对角线。

在一个正多边形中，所有的顶点可以与除了他相邻的两个顶点的其他顶点连线，就成了顶点数减2（2是那两个相邻的点）个三角形。三角形内角和：180度，所以把边数减2乘上180度，就是这个正多边形的内角和。

对角线数量的计算公式：n（n-3）÷2。

7、面积

设正n边形的半径为R，边长为an，中心角为αn，边心距为rn，则αn=360°÷n，an=2Rsin(180°÷n)，rn=Rcos(180°÷n)，R^2=r n^2+(an÷2)^2，周长pn=n×an，面积Sn=pn×rn÷2。

8、对称轴

正多边形的对称轴：

奇数边：连接一个顶点和顶点所对的边的中点的线段所在的直线，即为对称轴。

偶数边：连接相对的两个边的中点，或者连接相对称的两个顶点的线段所在的直线，都是对称轴。

正N边形边数、角数、对称轴数都为N。

拓展知识：多边形外角和

与多边形的内角相对应的是外角，多边形的外角就是将其中一条边延长并与另一条边相夹的那个角。任意凸多边形的外角和都为360°。多边形所有外角的和叫做多边形的外角和。

证明：根据多边形的内角和公式求外角和为360。

n边形内角之和为(n-2)*180，设n边形的内角为∠1、∠2、∠3、...、∠n，对应的外角度数为：180-∠1、180°-∠2、180°-∠3、...、180°-∠n，外角之和为：

(180-∠1)+(180°-∠2)+(180°-∠3)+...+(180°-∠n)

=n*180°-(∠1+∠2+∠3+...+∠n)

=n*180°-(n-2)*180°

=360°