勾股数必须是整数吗
勾股定理,相信同学们都不陌生,是一个基本的几何定理。而对于勾股数的定义相信很多同学就会出现不了解的情况了。如果三个正整数中,较小两个数的平方和等于最大数的平方,那么,以这三个数为边长的三角形是直角三角形,因而具备上述特点的三个正整数数称为一组勾股数,简称勾股数。
勾股数必须是整数吗
勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股数必须是整数。例如一下常用的勾股数都是正整数:
(1)(3,4,5),(6,8,10)……
3n,4n,5n(n是正整数)
(2)(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)……
2n+1,2n^2+2n,2n^2+2n+1(n是正整数)
(3)(8,15,17),(12,35,37)……
2^2*(n+1),[2(n+1)]^2-1,[2(n+1)]^2+1(n是正整数)
(4)m^2-n^2,2mn,m^2+n^2(m、n均是正整数,m>n)
勾股数有什么规律
1、第一组勾股数
3,4,5
5,12,13
7,24,25
9,40,41
11,60,61
13,84,85
15,112,113
首先发现其最小值为奇数,而另外两数是连续正整数。
我们用乘方进行尝试。先给暂时没看出关系的最小值进行乘方。
3²=9,5²=25,7²=49
大家有没有发现,在第一列数据中,每组数的较大两数之和正好等于这组数最小值的平方。即:
3²=9=4+5,5²=25=12+13,7²=49=24+25
我们再试几组进行验证。
9²=81=40+41,11²=121=60+61
目前看来这个规律是正确的。我们再次注意到开始时发现的规律:第一列中每组数较大两数差为一。那么总结这两点就可初步发现以下规律:
一个正奇数(除1外)与两个和等于此正奇数平方的连续正整数是一组勾股数。
设n为一正奇数(n≠1),那么以n为最小值的一组勾股数可以是:n,(n²-1)/2,(n²+1)/2。
2、第二组勾股数
6,8,10
8,15,17
10,24,26
12,35,37
14,48,50
16,63,65
18,80,82
我们如法炮制,首先发现第二组数据均以偶数为最小数,而另外两数是差为2的正整数。似乎也只能看出这么多,那我们继续用最小数乘方对比另外两数之和进行尝试。
6²=36,10+8=18
8²=64,15+17=32
10²=100,24+26=50
这次好像是后两数之和的二倍等于最小数平方?我们进行更多尝试。
12²=144=2(35+37),14²=196=2(48+50)
初步看来规律正确,那我们还是用代数式验证一下普遍性吧:
设m为一正偶数(m≠0,m≠2,m≠4),那么以m为最小值的一组勾股数可以是:
m,(m²/4)-1,(m²/4)+1
验证:[(m²/4)+1]²-[(m²/4)-1]²
=[(m²/4)²+m²/2+1]-[(m²/4)²-m²/2+1]
=(m²/4)²+m²/2+1-(m²/4)²+m²/2-1
=m²
验证成功,可总结为以下规律:
当一个正偶数为最小值时,它(除0,2和4)与两个和之二倍等于此正偶数平方的差为一的正整数是一组勾股数。
设m为一正偶数(m≠0,m≠2,m≠4),那么以m为最小值的一组勾股数可以是:m,(m²/4)-1,(m²/4)+1。
3、特殊的勾股数规律
①12,16,20②18,24,30
首先根据勾股定理可以判断它们都是勾股数。但是仔细观察,我们发现它们每组的三个数都是一组勾股数的正整数倍。
3,4,5分别乘4得12,16,20
6,8,10分别乘3得18,24,30
一组勾股数的正整数倍也是一组勾股数吗?我们还是用代数式验证一下:
任意一组勾股数的正整数倍也是一组勾股数吗?我们还是用代数式验证一下:
设a²+b²=c²,则a,b,c分别乘n后为:
(na)²+(nb)²
=n²a²+n²b²
=n²(a²+b²)
=n²c²
=(nc)²
总结规律为一组勾股数的正整数倍还是一组勾股数。
勾股定理必背10个公式
1、直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a²+b²=c²。
2、(3,4,5),(6,8,10)……3n,4n,5n(n是正整数)。
3、(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)……2n+1,2n^2+2n,2n^2+2n+1(n是正整数)。
4、(8,15,17),(12,35,37)……2^2*(n+1),[2(n+1)]^2-1,[2(n+1)]^2+1(n是正整数)。
5、m^2-n^2,2mn,m^2+n^2(m、n均是正整数,m>n)。
6、平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
7、如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行。
8、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
9、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
10、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180。