多面体的定义是什么

有一个特殊的观点就是“人是多面体”，那么，为什么这么说呢？多面体的定义到底是什么呢？其实多面体，顾名思义是多个身份和角色，这是对人的一种描述，而在数学中，他有着严格的定义。

多面体的定义是什么

一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。

围成多面体的多边形叫做多面体的面。两个面的公共边叫做多面体的棱。若干条棱的公共顶点叫做多面体的顶点。把多面体的任何一个面伸展，如果其他各面都在这个平面的同侧，就称这个多面体为凸多面体。多面体至少有4个面。多面体依面数分别叫做四面体、五面体、六面体等等。把一个多面体的面数记作F，顶点数记作V，棱数记作E，则F、E、V满足如下关系：F+V=E+2。

这就是关于多面体面数、顶点数和棱数的欧拉定理，每个面都是全等的正多边形的多面体叫做正多面体。每面都是正三角形的正多面体有正四面体、正八面体和正二十面体。每面都是正方形的多面体只有正六面体即正方体，每面都是正五边形的只有正十二面体。由欧拉定理可知一共只有这5种正多面体。

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫棱柱的底面，其余各面叫棱柱的侧面，两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。不在同一个面上的两个顶点的连线叫棱柱的对角线。两个底面间的距离叫做棱柱的高。侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……容易看出棱柱的侧棱的长都相等，侧面都是平行四边形。两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。直棱柱的侧棱长与高相等，侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体。底面是矩形的直平行六面体叫做长方体。棱长都相等的长方体叫做正方体。易见长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上3条棱长的平方和，称垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面为棱柱的直截面。斜棱柱的侧面积等于它的直截面的周长与侧棱长的乘积。直棱柱的底面是直截面，因此直棱柱的侧面积等于它的底面的周长与一条侧棱长的乘积。棱柱的体积等于它的底面积与高的乘积。

多面体欧拉定理

式中V表示多面体的顶点数，E表示棱数，F表示面数。

分析：以四面体ABCD为例。

将它的一个面BCD去掉，再使它变为平面图形，四面体的顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变（这里F1=F-1）。因此，要研究V、E和F的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。

只需平面图形证明：V+F1-E=1。

（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E的值不变。例如去掉BC，就减少一个面ABC。同理，去掉CD、BD，也就各减少一个面ACD、ABD，由于V、F1-E的值都不变，因此V+F1-E的值不变。

（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E的值不变。例如去掉CA，就减少一个顶点C。同理去AD就减少一个顶点D，最后剩下AB。

在以上变化过程中，V+F1-E的值不变。

V+F1-E=2-0-1=1。

所以V+F-E=V+F1-E+1=2。

对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。公式对任意简单多面体都是正确的。

多面体的表面积与体积

1、多面体的表面积：就是围成多面体各个面的面积的和，棱柱棱锥棱台的表面积就是他们的各个面的面积的和。

2、多面体的体积

（1）棱柱：如果棱柱的底面积是S，高是h，那么这个棱柱的体积V=sh。

（2）棱锥：如果棱锥的底面积是S，高是h，那么这个棱锥的体积V=1/3sh。

（3）棱台：如果棱台的上、下底面积是S，S，高是h，那么这个棱台的体积V=1/3h（S′+√S′S+S）。