幂函数的三个特征

幂函数是基本初等函数之一。一般地，函数$y=a^x$叫做幂函数，其中$x$为自变量，$a$为常数。

幂函数的三个特征：

（1）解析式右边是一个幂。

（2）系数为1。

（3）底数是自变量。

幂函数的性质：

1、$y=x$

定义域为$\mathbf{R}$；值域为$\mathbf{R}$；奇函数；在$\mathbf{R}$上单调递增；恒过定点$（1,1）$；幂函数在第四象限内无图象。

2、$y=x^2$

定义域为$\mathbf{R}$；值域为$y\geqslant0$；偶函数；在$(-∞,0)$上单调递减，在$（0,+∞）$上单调递增；恒过定点$（1,1）$；幂函数在第四象限内无图象。

3、$y=x^3$

定义域为$\mathbf{R}$；值域为$\mathbf{R}$；奇函数；在$\mathbf{R}$上单调递增；恒过定点$（1,1）$；幂函数在第四象限内无图象。

4、$y=x^\frac{1}{2}$

定义域为$x\geqslant0$；值域为$y\geqslant0$；非奇非偶函数；在$（0,+∞）$上单调递增；恒过定点$（1,1）$；幂函数在第四象限内无图象。

5、$y=x^{-1}$

定义域为$x≠0$；值域为$y≠0$；奇函数；在$（-∞,0）$和$(0,+∞)$上单调递减；恒过定点$（1,1）$；幂函数在第四象限内无图象。

幂函数的讨论分析：

（1）所有的图像都通过（1，1）这点.(α≠0) α>0时 图象过点（0，0）和（1，1）。

（2）单调区间：

当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：

当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增；

当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增；

当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；

当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

当α为分数时，α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：

当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增；

当α>0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递增；

当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减；

当α<0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；

（3）当α>1时，幂函数图形下凹（竖抛）；

当0<α<1时，幂函数图形上凸（横抛）。

当α<0时，图像为双曲线。

（4）在（0,1）上，幂函数中α越大，函数图像越靠近x轴；在（1，﹢∞）上幂函数中α越大，函数图像越远离x轴。

（5）当α<0时，α越小，图形倾斜程度越大。

（6）显然幂函数无界限。

（7）α=2n（n为整数），该函数为偶函数 {x|x≠0}。