外心是三角形什么的交点

外心是指三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。指三角形外接圆的圆心，一般叫三角形的外心。三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等。外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

外心是三角形什么的交点

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。

三角形外心特性及公式证明

设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2。

性质1：（1）锐角三角形的外心在三角形内。

（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合。

（3）钝角三角形的外心在三角形外。

（4）等边三角形外心与内心为同一点。

性质2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A)）。

性质3：∠GAC+∠B=90°。

证明：如图所示延长AG与圆角与P（B、C下面的那个点）

∵A、C、B、P四点共圆

∴∠P=∠B

∵∠P+∠GAC=90°

∴∠GAC+∠B=90°

性质4：点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：

（1）向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC)。

或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC。

性质5：三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。

性质6：点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件　(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB + 向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=0。

三角形外接圆半径公式推导

三角形的面积记作△，三边长分别是a、b、c，外接圆半径为R，那么△=abc/4R；R=abc/4△。因为△=(1/2)ah=(1/2)absinC=(1/2)ab·c/(2R)=abc/4R。

直角三角形的外心(即三边垂直平分线交点)在斜边的中点上，因此直角三角形的外接圆半径就等于斜边的一半。