多边形的内角和是多少度

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。多边形的内角和是初中几何中的一个基础知识，但很多同学依然对此了解和掌握的程度不深，那么，接下来就为大家整理了详细的证明过程。

多边形的内角和是多少度

1、n边形的内角和等于（n-2）x180；

注：此定理适用所有的平面多边形，包括凸多边形和平面凹多边形。

多边形的内角和与边数关系

1、在平面多边形中，边数相等的凸多边形和凹多边形内角和相等。但是空间多边形不适用。可逆用：

n边形的边=（内角和÷180°）+2；

过n边形一个顶点有（n-3）条对角线；

n边形共有n×（n-3）÷2=对角线；

2、 n边形过一个顶点引出所有对角线后，把多边形分成n-2个三角形。

推论：

（1）任意凸形多边形的外角和都等于360°；

（2）多边形对角线的计算公式：n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）；

（3）在平面内，各边相等，各内角也都相等的多边形叫做正多边形。（两个条件必须同时满足）

反例：矩形（各内角相等，各边不一定相等）；菱形（各边相等，各内角不一定相等）。

多边形内角和定理证明

证法一：在n边形内任取一点O，连结O与各个顶点，把n边形分成n个三角形。

比如像这样，

因为这n个三角形的内角的和等于n·180°，以O为公共顶点的n个角的和是360°。

所以n边形的内角和是n·180°-2×180°=（n-2）·180°。

即n边形的内角和等于（n-2）×180°。

证法二：连结多边形的任一顶点A1与其他各个顶点的线段，把n边形分成（n-2）个三角形。

因为这（n-2）个三角形的内角和都等于（n-2）·180°。

所以n边形的内角和是（n-2）×180°。

所以n边形的内角和是（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°。

已知正多边形内角度数，则其边数为：360÷（180－内角度数）。

相关例题

【典例1】

已知：一个多边形的内角和是1800°，求这个多边形的边数。

解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得（n－2）180°＝1800°则n－2＝10，n＝12。

点评：对于求多变形的边数n，常根据题设及有关定理列出关于n的方程来求。

【典例2】

一个多边形的每个内角都等于144°，求它的边数。

分析：设该多边形的边数为n，要求出n，需列出关于n的方程，这个多边形的内角和为（n－2）×180°，又因为“每个内角都等于144°”，则内角和也可以表示为144n，则（n－2）×180°＝144n，由此可以求出n。

还可以这样考虑，由于这个多边形的每个内角都等于144°，则每个外角都等于180°－144°＝36°，因此，n又可以由外角和来求。

解法一：设这个多边形的边数为n，根据题意，得

（n－2）×180°＝144n，解得n＝10。

解法二：设这个多边形的边数为n，根据题意，得

（180°－144°）n＝360°，解得n＝10。