十字相乘法公式技巧

在平常生活中我们通常会看到有些孩子计算特别快，别人还没动笔，有些孩子已经算出来了。其中给一个诀窍就是用了十字相乘法，它不是很难，但是，想要做的快又准，还得需要多加练习，很多东西是只可意会不能言传的。

十字相乘法公式技巧

1、 二次项系数为1的十字相乘

此类因式分解的模型为x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）

1.x2+6x+8 2.x2-6x+8 3.x2+2x-8 4.x2-2x-8

=(x+2)(x+4) =(x-2)(x-4) =(x-2)(x+4) =(x+2)(x-4)

基本原理：左列相乘的积为二次项，右列相乘的积为常数项，交叉相乘的积的和为一次项。

引申：如果二次项系数为负数，先把二次项系数转换为正数，然后看常数项系数和一次项系数。

如果常数项系数为正，一次项系数为正，则拆为两个正数相乘。

如果常数项系数为正，一次项系数为负，则拆为两个负数相乘。

如果常数项系数为负，一次项系数为正，则拆为一正一负相乘，并且正数的绝对值大。

如果常数项系数为负，一次项系数为负，则拆为一正一负相乘。并且负数的绝对值大。

2、 二次项系数不为1的十字相乘

此类型原理与上个类型一样，只不过把二次项系数也得拆为两个正数相乘。

此类因式分解的模型为abx2+（ad+bc）x+cd=（ax+c）（bx+d）

举例说明：2x2+13x+15=（2x+3）（x+5）

其中2x与x的积为二次项2x2 ，3与5的积为常数项，2x与5的积加上x与3的积之和为一次项。

3、 双十字相乘法

此类型原理不变，只是用2次十字相乘，应用整体思想。那么用2x2-7xy-22y2-5x+35y-3 来说明双十字方法的应用。

第一种方法：

可以把x当主元，用整理思想来分解，具体过程如下：

2x2-7xy-22y2-5x+35y-3 = 2x2+(7y+5)x -22y2+35y-3

然后先将-22y2+35y-3分解为 –(2y-3)(11y-1) =(2y-3)(-11y+1)

然后用整体思想来分解，把(2y-3) 和(-11y+1)看成2个整体。

2x2-7xy-22y2-5x+35y-3 = 2x2-(7y+5)x -22y2+35y-3

=2x2-(7y+5)x+(2y-3)(-11y+1) =[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)]

=(x+2y-3)(2x-11y+1)

第二种方法：

可以先分解二次项2x2-7xy-22y2 =(x+2y)(2x-11y)

然后用整体思想来分解，把(x+2y)和(2x-11y)看成2个整体。

2x2-7xy-22y2-5x+35y-3 = (x+2y)(2x-11y) -5x+35y-3

==(x+2y-3)(2x-11y+1)

十字相乘法概念

十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab的逆运算来进行因式分解。

十字分解法能用于二次三项式（一元二次式）的分解因式（不一定是整数范围内）。对于像ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。那么可以直接写成结果：ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）。在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x²+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q）。

十字相乘法的口诀

一、十字相乘法的口诀是：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。

1、口诀第一句：竖分常数交叉验，这里包含了三个步骤

1）竖分二次项和常数项，即把二次项和常数项的系数竖向写出来。

2）交叉相乘，和相加，即斜向相乘然后相加，得出一次项系数。

3）检验确定，检验一次项系数是否正确。

2、口诀第二句：横写因式不能乱

即把因式横向写，而不是交叉写，这里不能搞乱。

二、十字相乘法顺口溜：分解二次三项式，尝试十字相乘法。

分解二次常数项，交叉相乘做加法。

叉乘和是一次项，十字相乘分解它。

十字相乘法谁提出的

十字相乘法是一种用于分解二次多项式的数学方法，它的发明者是意大利数学家毕达哥拉斯。

据传说，毕达哥拉斯有一次在沙滩上散步时，看到有些人用小石子在沙滩上画出了一个三角形和一个正方形，并且它们有公共边。他由此受到启发，并发现了十字相乘法。

十字相乘法的具体步骤是将二次项和常数项分别放在一个十字形的两个斜对角上，将一次项放在十字形的中心线上，然后将四个数相乘。如果乘积的两个数字相同，则说明这个二次多项式可以分解为两个一次多项式的乘积；如果乘积的两个数字互质，则说明这个二次多项式不能分解为两个一次多项式的乘积。

十字相乘法的发现对数学的发展产生了深远的影响，它使得分解二次多项式变得更加简单和高效。同时，它也为后来的数学家提供了更多的工具和思路来研究二次方程和二次函数。

练习题：

1.x²-8x+15=0

2.6x²-5x-25=0

3.a²-7a+6=0 

4.8x²+6x-35=0

5.18x²-21x+5=0

6.20-9y-20y²=0

7.2x²+3x+1=0

8.2y²+y-6=0

9.6x²-13x+6=0

10.3a²-7a-6=0

11.6x²-11x+3=0

12.4m²+8m+3=0

13.10x²-21x+2=0

14.8m²-22m+15=0

15.4n²+4n-15=0

解题思路：

先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。分解二次项系数（只取正因数，因为取负因数的结果与正因数结果相同）。