a的平方+b的平方的不等式
2023-12-04 14:40:00
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在高中阶段的数学学习过程中，不等式部分难倒了许多学生，有一些常用的不等式，在题目中经常会被用到。其中就包括a的平方+b的平方的不等式。
a的平方+b的平方的不等式
a²+b²≧2ab（a，b∈R）
我们可以证明如下：
当a∈R，b∈R时，我们知道，（a－b）2≥0
把这个不等式的左边完全差平方公式展开后可以得到：a2－2ab＋b2≥0，把－2ab移项到不等式的右边可得：a2十b2≥2ab。
由上述证明知道，a2十b2≥2ab。
a的平方+b的平方的不等式变形：
1、基本不等式√ab≦（a＋b）／2
这个不等式需要a，b均大于0，等式才成立，当且仅当a＝b时等号成立。
证明过程：要证（a＋b）／2≧√ab，只需要证a＋b≧2√ab，只需证（√a－√b）＾2≧0，显然（√a－√b）＾2≧0是成立的。
它的几何意义是圆内的直径大于被弦截后得到直径的两部分的乘积的二倍。
2、b／a＋a／b≧2
这个不等式的要求ab＞0，当且仅当a＝b时等号成立，也就是说a，b可以同时为正数，也可以同时为负数。
证明的过程：b／a＋a／b（a＾2＋b＾2）／ab≧2，只需证a＾2＋b＾2≧2ab即可。
有关a的平方+b的平方不等式的练习题：
1、如果实数x、y 满足x＾2＋y＾2＝1，则（1十xy）（1－xy）有（）
（A）最小值1/2和最大值1
（B）最大值1和最小值3/4
（C）最小值3/4而无最大值
（D）最大值1而无最小值
2、已知实数 x、y满足x2－xy＋y2＝3，求x2＋y2的取值范围。
3、已知a，b为实常数，求函数y=（x一a）2＋（x－b）2的最小值。
4、要使不等式根号x加根号y小于或等于k乘以根号下x+y对所有正数x，y都成立，求实数k的最小值。
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