函数单调性怎么判断

函数的单调性（monotonicity）也可以叫做函数的增减性。当函数f（x）的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f（x）也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。

函数单调性怎么判断：

1、定义法：

定义域判断函数单调性的步骤：

（1）取值：

在函数定义域的某一子区间I内任取两个不等变量X1、X2，可设X1<X2；（2）作差（或商）变形：

作差f（X1）-f（X2），并通过因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差的符号的方向变形。

（3）定号：

确定差f（X1）-f（X2）的符号。

（4）判断：

根据定义得出结论。

2、直接法：

（一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出）：

（1）函数y=-f（x）的单调性相反。

（2）函数y=f（x）恒为正或恒为负时，函数y=f（x）的单调性相反。

（3）在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数。

3、图像法：

说明：

（1）单调区间是定义域的子集。

（2）定义x1、x2的任意性。

（3）代数：自变量与函数值同大或同小→单调增函数。

自变量与函数相对→单调减函数。

4、导数法：

首先对函数进行求导，令导函数等于零，得X值，判断X与导函数的关系，当导函数大于零时是增函数，小于零是减函数。

复合函数的单调性：

1、复合函数在公共定义域上的单调性：

（1）若f与g的单调性相同，则函数为增函数。

（2）若f与g的单调性相反，则函数为减函数（同增异减）。

2、在公共定义域内，函数f（x）g（x）的单调性：

（1）增函数f（x）+增函数g（x）是增函数。

（2）减函数f（x）+减函数g（x）是减函数。

（3）增函数f（x）-减函数g（x）是增函数。

（4）减函数f（x）-增函数g（x）是减函数。

基本函数的单调性及单调区间：

1、常数函数y=C，不是单调函数，没有单调区间。

2、一次函数y=ax+b（a≠0）定义域为R，是单调函数，单调性取决于a的正负。当a>0时为单调增函数，单调增区间为（-∞，+∞）；当a<0时为单调减函数，单调减区间为（-∞，+∞）。

3、二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）定义域为R，具有单调性，有单调区间，取决于a的正负和对称x0=-b/2a的值。当a>0时，区间（-∞，-b/2a）上为单调减区间，（-b/2a，+∞）上为单调增区间；当a<0时，区间（-∞，-b/2a）上为单调增区间，（-b/2a，+∞）上为单调减区间。

4、幂函数y=x^a，其单调性要根据a的取值来讨论。如a=2时，y=x^2是二次函数的一种情形，单调性符合二次函数性质；当a=3时，y=x^3则在整个实数范围内为单调增函数，单调增区间即为（-∞，+∞）。

5、指数函数y=a^x（a>0且a≠1）定义域为R，其单调性取决于a的取值。当a>1时，则指数函数单调递增；若0<a<1，则为单调递减。

6、对数函数y=loga（x）（a>0且a≠1）定义域为定义域是（0，+∞），单调性取决于a的取值。当a>1时，在定义域上为单调增函数；当0<a<1时，在定义域上为单调减函数。

7、反比例函数y=k/x（k≠0）定义域要求x≠0，其单调性取决于k的正负。当k>0时，函数在（-∞，0），（0，+∞）上同为减函数；当k<0时，函数在（-∞，0），（0，+∞）上同为增函数。

8、三角函数。

这种类型比较多，如正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx、正切函数y=tanx、余切函数y=ctgx、正割函数y=secx、余割函数y=cscx、正矢函数versinx=1-cosx、余矢函数coversinx=1-sinx、半正矢函数haversinx=（1-cosx）/2、半余矢函数hacoversinx=（1-sinx）/2、外正割函数exsecx=secx-1等。

前四种常见三角函数的单调性如下：

对于y=sinx，增区间为[2kπ-π/2，2kπ+π/2],减区间为[2kπ+π/2，2kπ+3π/2]。

对于y=cosx，增区间为[2kπ-π，2kπ],减区间为[2kπ，2kπ+π]。

对于y=tanx，增区间为[kπ-π/2，kπ+π/2]。

对于y=ctgx，减区间为[kπ，kπ+π]，以上k∈Z。