平面向量共线定理

平面向量共线定理是高中数学的重点学习内容，也是高考常考的考点之一。学生首先要熟悉定理，然后才能懂得该如何在题目中应用。

平面向量共线定理

平面向量共线定理：共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。

证明：

充分性：对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。

必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令λ=m，有b=λa，当向量a与b反方向时，令λ=-m，有 b=λa。如果b=0，那么λ=0。

唯一性：如果b=λa=μa，那么(λ-μ)a=0。但因a≠0，所以λ=μ。

向量的基本定理和公式

1、向量是有大小又有方向的量。如力、位移，速度等。

2、向量的大小称为向量的模，记作|a|。

3、向量的运算：

1）求和（结果仍是向量），利用三角形法则或平行四边形法则。

2）向量和数的乘积（结果仍是向量）。

定理：设向量a≠0，那么，向量b与向量a平行的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b=λa。

4、向量的坐标

1）（一个向量）：向量的坐标表示法：用向量的起点和终点两个点的坐标表示。

例如：向量a表示由点M1指向点M2的向量，M1（x1，y2，z1）为起点，M2（x2，y2，z2）为终点，则向量a表示为

a=M1M2=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）

即：向量的坐标为终点坐标减去起点坐标的对应坐标值。可理解为将向量a平移到起点与坐标原点重合。

2）（两个向量）：向量的加法、减法以及向量与数的乘积。

（1）向量相加时，向量之和的坐标为对应坐标值之和；

（2）向量相减时，向量之差的坐标为对应坐标值之差（前坐标-后坐标）；

（3）向量与数相乘，乘积的坐标为对应坐标值与数的乘积。

5、（一个向量）：向量的方向角：

非零向量a与三条坐标轴正向的夹角α、β、γ称为它的方向角。向量的模、方向角与坐标之间的关系如下：

ax=|a|cosα，ay=|a|cosβ，az=|a|cosγ，（1）

即，向量的对应坐标值等于向量的模乘以对应方向角的余弦值。

注：向量三个方向余弦值的平方和等于1

注：向量的模等于向量各坐标值的平方和开算术平方根。（求向量的模就是求向量（坐标点与原点连线）的长度，解三角形。）

再由式（1）可求出，各个方向余弦角。

6、（两个向量）：数量积、向量积、混合积

设两个向量的夹角为θ（0≤θ≤π）。

1）数量积：

向量a和向量b的数量积（点乘）是一个数量（实数），记作a * b，其大小为|a||b|cosθ。

注：向量a与向量b垂直的充分必要条件是a*b=0。(实数0）（因为，cos90°=0）

2）向量积：

向量a和向量b的向量积（×乘）是一个向量c，记作a x b，即 c=a x b，c的模记作|c|=|axb|=|a||b|sinθ。

即：两个向量积的向量积的模等于两个向量的模的乘积的正弦值。

向量c的方向垂直于向量a和向量b所决定的平面，c的指向按右手法则确定。

3）（两个向量）向量的坐标表示法：

向量a=（x1，y2，z1），向量b=（x2，y2，z2）

（1）数量积（点乘）：向量积等于对应坐标乘积之和（乘积是一个数量（实数））。

即：a*b=x1*x2+y1*y2+z1*z2

（2）向量积（×乘）：（乘积是一个向量）

axb=（y1*z2-z1*y2，z1x2-x1z2，x1y2-y1x2）（注：写成矩阵形式比较直观）

由向量积的定义可知，向量a与向量b平行的充分必要条件是axb=0（0向量）。

（3）混合积：

三个向量a、b、c的混合积是一个数量。这个数量通过先作前两个向量的向量积axb，再作数量积（axb）*c得到，混合积记作[abc]，即：

[abc]=（axb）*c

向量混合积[abc]的几何意义：（注：向量混合积应用，求空间任意四个点围成的四面体体积。）

[abc]这个数，它的绝对值表示以向量a、b、c为棱的平行六面体的体积，它的符号由向量a、b、c组成右手系还是左手系来确定，前者为正，后者为负。