外心的性质和定义

初中竞赛或者选拔性的考试中经常会出现“五心”考察，其中一项重要的考点就是“外心”。外心，顾名思义就是三角形外面图形的一点，那他具体含义及性质是什么呢？请看下面的详细介绍。

外心的性质和定义

一、外心的性质：

1、外心到三顶点的距离相等，即外心是三角形外接圆的圆心。

2、过外心作一边的垂线平分此边。

3、外心与一边中点的连线垂直于此边。

4、直角三角形的外心就是斜边的中点，锐角三角形的外心在三角形内，钝角三角形的外心在三角形外。

二、外心的定义：

三角形三边垂平分线的交点，叫外心。即三角形外接圆的圆心。

外心的向量表示和证明

三角形外心向量公式推导证明：设三角形三边及其对角分别为a、b、c，∠A、∠B、∠C正弦定理有r=a/（2sinA）=b/（2sinB）=c/（2sinC）r=abc/（4S△ABC）。三角形外心的向量关系向量PA的模=向量PB的模=向量PC的模（ABC为三角形三个顶点，P为外心）。

三角形外接圆向量定理推导：

三角形外心向量公式：PA+PB+PC=0。三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。

三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

外心重心内心垂心的区别

1、重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1。

2、垂心——高线的交点：高线与对应边垂直。

3、内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等。

4、外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。

拓展知识：三角形“五心定律”

三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

重心定理：三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。

一、外心定理：三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

二、重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。

5、以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。

三、垂心定理 ：三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：

1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG：GH=1：2。（此直线称为三角形的欧拉线）（除正三角形）

3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

四、内心定理：三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。

内心的性质：

1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。

2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一。

3、P为ΔABC所在空间中任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=（a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC）/（a+b+c）。

4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO：ON=AB：BN=AC：CN=（AB+AC）：BC。

5、（欧拉定理）ΔABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr。

6、内角平分线分三边长度关系：

△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b，CP/PA=a/c，BR/RA=a/b。

7、内心到三角形三边距离相等。

五、旁心定理：三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。

旁心的性质：

1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

2、每个三角形都有三个旁心。

3、旁心到三边的距离相等。