抛物线开口大小由哪个量决定

在生活中我们经常会说一句话：“抛出了一道完美的抛物线”，说到这里，大家应该对抛物线有一个基础的了解了，至少知道他是什么曲线走向了，但是在数学中，抛物线的考点很多，还是需要同学们认真对待和学习。

抛物线开口大小由哪个量决定

抛物线y=ax²+bx+c的开口是由a决定的。a的符号性质决定了开口的方向，当a>0时，抛物线开口向上，当a小于0时，开口向下。

事实上，抛物线在不同的竖直位置上，开口的大小是不同的。我们对最简单的抛物线y=ax² (a>0)做一个探究。它与直线y=y0两个交点的横坐标差，就表示抛物线在y=y0的开口大小。

因此我们得到一个关于x的二次方程：ax²-y0=0。显然，此时开口的大小为|x2-x1|=√(4ay0)/a=2√(y0/a)。这样我们就可以得到抛物线y=ax²在不同的竖直位置上的开口大小。比如，在y=1的开口大小是2√(1/a)，在y=2的开口大小是2√(2/a)，在y=1/4的开口大小是√(1/a)。

当a值不同时，形成多条抛物线之间的开口对比。比如对比这三条抛物线：y=x²/2，y=x²，y=2x²。我们可以选择在同一竖直位置上，比较它们开口的大小。比如在y=1/4的竖直位置上。y=x²/2的开口大小为√2，y=x²的开口大小为1，y=2x²的开口大小为√(1/2)。很明显的，就可以对较三者之间在y=1/4的开口的量化大小了。

如果我们取y=y0>0，就可以发现，抛物线y=ax² (a>0)的开口大小，与a的算术平方根成反比。即a越大，开口就越小。而且可以对其大小进行量化。类似的，我们也可以探究a<0的情形。最终得到结论，抛物线y=ax²在同一竖直位置上，|a|越大，抛物线开口越小。并且这种大小是可以量化的。

抛物线的定义

右开口抛物线：y2=2px

左开口抛物线：y2=-2px

上开口抛物线：x2=2py

下开口抛物线：x2=-2py

(p>0)[p为焦准距]

抛物线的特点

在抛物线y2=2px中，焦点是(p/2，0)，准线的方程是x=-p/2，离心率e=1，范围：x≥0；

在抛物线y2=-2px中，焦点是(-p/2，0)，准线的方程是x=p/2，离心率e=1，范围：x≤0；

在抛物线x2=-2py中，焦点是(0，p/2)，准线的方程是y=-p/2，离心率e=1，范围：y≥0；

在抛物线x2=2py中，焦点是(0，-p/2)，准线的方程是y=p/2，离心率e=1，范围：y≤0；

抛物线的相关结论

1、焦点和准线的关系

抛物线的一个重要性质是，焦点到准线的距离等于准线上任意一点到曲线的距离。这一性质体现了抛物线的几何特点，可以通过几何推导和数学公式进行证明。

2、顶点的坐标

抛物线的顶点是其最高（或最低）点，对于一般形式的抛物线 y=ax²+bx+c，其顶点的横坐标为 {b}/{2a}，纵坐标为 {b²-4ac}/{4a}。这个结论是通过数学分析和推导得出的。

3、对称轴的性质

抛物线关于其对称轴对称，因此对称轴是抛物线的一个重要特征。对于一般形式的抛物线 y=ax²+bx+c，其对称轴的方程为 x={b}/{2a}。

4、切线的斜率

在抛物线上任意一点处，切线的斜率等于该点的横坐标。这是一个有趣且有用的性质，可以通过微积分中的导数概念进行证明。

5、与坐标轴的交点

抛物线与坐标轴的交点是解其方程得到的。对于一般形式的抛物线 y=ax²+bx+c，与 x 轴的交点为 (x₁, 0) 和 (x₂, 0)，其中 x₁ 和 x₂ 是方程 ax²+bx+c=0的两个根。

6、拐点的存在

抛物线的拐点是其凹凸性发生变化的点，对于一般形式的抛物线 y=ax²+bx+c，拐点的横坐标为 {b}/{2a}，纵坐标为 {1}/{4a}。这个结论可以通过对抛物线的二阶导数进行分析得出。

7、极值点的性质

抛物线在其顶点处达到最大值或最小值，这也是极值点的性质。对于一般形式的抛物线 y=ax²+bx+c，当 a>0 时，抛物线开口向上，顶点是极小值点；当 a<0 时，抛物线开口向下，顶点是极大值点。

8、与直线的关系

抛物线与直线的交点数量有限，可能有两个、一个或零个交点。交点的数量取决于抛物线与直线的位置关系和方程的系数。