空间向量点到直线公式总结

公式中的直线方程为ax+by+c=0，点P的坐标为（x1，y1）。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。在空间向量中，计算点到直线的距离有一个特定的公式，同学们只要记住这个公式，就能解决很多难题。

空间向量点到直线公式总结

空间向量法求点到直线距离的公式为：|ax1+by1+c|÷√（a²+b²）。

空间向量的坐标运算

（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）。

①令a=(a1，a2，a3)，b=（b₁，b₂，b₃），则a+b=（a₁±b₁，a₂±b₂，a₃±b₃）

λ a=（λa₁，λa₂，λ₃）（λ∈R）

a·b=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=0

a//b<=>a₁=λb₁，a₂=λ₂，a₃=λ₃(λ∈R)<=>₁/b₁=a₂/b₂=a₃/b₃

a⊥b<=>a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=0

|a|=√(a·a)=√(a₁²+a₂²+a₃²)(用到常用的向量模与向量之间的转化：|a|²=a·a=>|a|=√(a·a))

cos=a·b/|a|·|b|=（a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)/ √(a₁²+a₂²+a₃²)·√(b₁²+b₂²+b₃²)

②空间两点的距离公式：d=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²]

（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，如果a⊥α那么向量a叫做平面α的法向量。

（3）用向量的常用方法：

①利用法向量求点到面的距离定理：设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条射线，其中A∈α，则点B到平面α的距离为|AB·n|/|n|。

②利用法向量求二面角的平面角定理：设n₁，n₂分别是二面角α-ι-β中平面α，β的法向量，则n₁，n₂所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n₁，n₂方向相同，则为补角，n₁，n₂反方，则为其夹角）。

③证直线和平面平行定理：已知直线a≠不包含平面α，A·B∈a，C·D∈α，且CDE三点不共线，则a∥α的充要条件是存在有序实数对λ·μ使AB=λCD+μCE。（常设AB=λCD+μCE求解λ，μ若λ，μ存在即证毕，若λμ不存在，则直线AB与平面相交）。

空间向量的应用举例

1、判断点、直线、平面的位置关系

利用空间向量的性质，我们可以判断点、直线、平面的位置关系，如点是否在直线上、两直线是否平行或垂直、平面是否平行或垂直等。这些判断在解决几何问题时非常有用。

2、计算距离和角度

通过空间向量的运算，我们可以计算两点之间的距离、两直线之间的夹角、直线与平面的夹角等。这些计算在实际问题中有着广泛的应用，如建筑设计、工程测量等。

3、解决物理问题

空间向量在物理学中也有广泛的应用，如描述物体的运动状态、计算物体的速度和加速度等。通过运用空间向量的概念和运算，我们可以更好地理解和解决物理问题。