关于ln(1+x)的不等式

对数不等式是高中数学不等式部分的重点和难点，要求学生牢牢记住几个常用不等式，并学会在题目中灵活运用。你知道关于关于ln（1＋x）的不等式是什么吗？

关于ln（1＋x）的不等式

ln（1＋x）＜x（x＞0）

证明：

令f（x）＝x－ln（1＋x）

则f‘（x）＝1－1／（1＋x）＝x／（x＋1）在x≥0时始终为正

从而f（x）在x≥0为严格单调增函数

所以当x＞0时f（x）＞f（0）＝0－ln1＝0即ln（1＋x）

ln（1＋x）不等式的变形以及衍生：

1、lnx＜x／a＋lna－1（x＞0，x≠a）

2、ln（1＋x）＞x／（1＋x）（x＞－1，x≠0）

3、ln（1＋x）≥2x／（2＋x）（x≥0）

4、ln（1＋x）≤2x／（2＋x）（－1＜x≤0）

5、（e＾x－1）ln（1＋x）≥x＾2（x≥0）

证明方法：

（1）凹凸法：y＝lnx

（2）极值法：y＝x－ln（1＋x）

（3）级数法：ln（1＋x）＝－ln［1－x／（1＋x）］

关于ln（1＋x）的函数图像：

1、这个函数在定义域为（－1，＋∞）上单调递增。

2、当x＝0时，函数值为0。

3、当x趋近于－1时，函数趋近于负无穷。

4、当x趋近于正无穷时，函数趋近于正无穷。

ln（1＋x）是否等于ln1乘lnx？

1、不是y＝ln（x－1），这是复合函数，包含y＝ln（u）以及u＝x－1，先对外函数y求导数再乘以内函数u的导数。

2、代数意义：以e为底x的对数。几何意义：作图过（1，0）点，图像在y轴左侧，当x趋向0时，函数图像向下无限趋近于y轴负向，当x延正向增大，函数凸着递增。

关于ln（1＋x）的练习题：

1、当x＞0时，证明：不等式ln（1＋x）＞x－1／2x2成立。

2、已知x＞1，证明不等式x＞ln（1＋x）。

3、如何证明不等式ln（1＋x）＜x，x＞0。