正定二次型的判定方法
2023-09-25 17:26:03
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若对任何非零向量x，实二次型f（x）如果对任何x≠0都有f（x）>0，则称f为正定二次型，并称矩阵A是正定的，记之A>0。
正定二次型的判定方法：
写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型的正定性。
对于给定的二次型，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于n来判定二次型的正定性。
正定二次型的性质：
（1）Q（x）的取值范围为[0,+∞），即Q（x）的值始终为非负数。当x≠0时，Q（x）>0。
（2）正定二次型的矩阵A必须是实对称矩阵，且所有特征值均为正。
（3）正定二次型的矩阵A必须是非奇异矩阵，即其行列式不为0。
正定二次型的充要条件：
（1）正惯性指数为n。
（2）A的特征值全大于零。
（3）A的所有顺序主子式全大于零。
（4）存在可逆的矩阵P，使得A=PTP。
（5）A相似于单位矩阵。
历史：
二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。柯西在其着作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。然而，那时并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。
西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅克比重新发现和证明。1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。
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