单元素集合什么意思

现代数学集合论中，元素是组成集的每个对象。换言之，集合由元素组成，组成集合的每个对象被称为组成该集合的元素。而单元素集合是什么意思呢，让我们一起来探索一下吧。

单元素集合什么意思

是由唯一一个元素组成的集合。例如，集合{0}是个单元素集合。注意，集合诸如{{1,2,3}}也是单元素集合，唯一的元素是一个集合（这个集合可能本身不是单元素集合）。

一个集合是单元素集合，当且仅当它的势为1。在自然数的集合论定义中，自然数1就是定义为单元素集合{0}。

在公理集合论中，单元素集合的存在性是空集公理和配对公理的结果：前者产生了空集Ø，后者应用于对集Ø和Ø，产生了单元素集合{Ø}。

若A是任意集合，S是单元素集合，则存在唯一一个从A到S的函数，该函数将所有A中的元素映射到S的单元素。

在范畴论中，单元素集合上构建的结构通常作为终对象或零对象。

上述说明所有单元素集合S都是集合范畴的终对象。该范畴中没有其它终对象。任意单元素集合都能够转化成拓扑空间（所有子集都是开集）。这些单元素拓扑空间是拓扑空间范畴的终对象。该范畴中没有其它终对象。任意单元素集合都能够转化成群（唯一的元素作为单位元）。这些单元素是群范畴的零对象。群范畴中没有其它零对象或终对象。

单元素集就是只有一个元素一个函数是否存在反函数就看这个函数的定义域是不是对称的单元素集当然不是对称的，因此“定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数”这句话中要说"非单元素集"。

元素与集合的关系

元素a与一个给定的集合A只有两种可能：

1、a属于集合A，表述为a是集合A的元素，记作a∈A

2、a不属于集合A，表述为a不是集合A的元素，记作a?A

集合的特性

1、确定性

给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。

2、互异性

一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。

3、无序性

一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。

元素是什么

现代数学集合论中，集合由元素组成，组成集合的每个对象称为元素。

例如：集合{1，2，3}中1，2，3都是集合的元素。

数学上单元素集合是由唯一一个元素组成的集合。例如集合{0}是单元素集合。注意，诸如{{1，2，3}}也是单元素集合，唯一的元素是一个集合（这个集合可能本身不是单元素集合）。

一个集合是单元素集合，当且仅当它的势为1。在自然数的集合论定义中，数字1就是定义为单元素集合{0}。

在公理集合论中，单元素集合的存在性是空集公理和对集公理的结果：前者产生了空集{}，后者应用于对集{}和{}，产生了单元素集合{{}}。

一个元素的真子集有几个

一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）。记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。

即，对于集合A与B，∀x∈A有x∈B，则A⊆B。可知任一集合A是自身的子集，空集是任一集合的子集。

真子集

如果集合A⊆B，存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A与集合B有真包含关系，集合A是集合B的真子集（proper subset）。记作A⊊B（或B⊋A），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）。

即：对于集合A与B，∀x∈A有x∈B，且∃x∈B且x∉A，则A⊊B。空集是任何非空集合的真子集。

所有亚洲国家组成的集合是地球上所有国家组成的集合的真子集；所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集（即N⊊Z）；{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}，{1, 2, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}； ∅⊊{∅}。但不能说{1, 2, 3}⊊ {1, 2, 3}。