分解因式的方法与技巧

因式分解是初中数学非常重要的一个章节，也是中考中必考的一知识点，难度不是很大，但对于一些基础弱或上课没有认真听讲的学生来说，根本不知道因式分解是什么？因式分解也是分式的基础，所以我们一定要把它学好。

分解因式的方法与技巧

一、提公因式法

1.提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

2.具体方法：

（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数，提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号。

3.基本步骤：

（1）找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；（2）提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；（3）提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

二、运用公式法

1.如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；

完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；

2.概括整合：

（1）能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反。

（2）能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍。

三、十字相乘法

1.x2+（p+q）x+pq型式子

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）2.ax2+bx+c（a≠0）型式子

这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）。

四、换元法

换元法在因式分解当中，其难度较大，主要是根据因式分解的要求，对于公因式当中出现了比较大的数字或多项式时，同学们很难在短时间内看到十字相乘法的简单形式，所以通过换元的方式，把相同的多项式或数字用简单的字母来代替，这样对于用十字相乘法时更加的明显，也比较简单，最后再将换元的形式补充回来，就可以得到最后因式分解的形式，这种方法在解题时能极大的提高同学们的解题效率，而且从形式上会使原来的式子变得更加的简单。

五、添项、拆项、配方法

添项拆项配方法是在以上几种方法进行因式分解未果的情况下才考虑的因式分解的另一种形式。这种分配的方式其难度以及要求的思维能力比起前面的几种方式都比较高。学习这几种方法，一定在平时就要加强训练，把这种方法灵活运用能力提高到新的高度，否则当真正遇到这类题型时，很难快速的得到解决的方案，以至于降低了学习效率。

分解因式的定义

把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。

因式分解的一般步骤

如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。

注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式

在因式分解过程中，有几点我们需要留意：

1. 因式分解的对象是多项式；

2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 结果如有相同因式，应写成幂的形式。

因式分解与整式乘法的关系

因式分解与整式乘法都是整式变形，两者互为逆变形。因式分解是将“和差”的形式化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。

注：分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底。

公因式

多项式的各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式。

系数——取各项系数的最大公约数；

字母——取各项都含有的字母；

指数——取相同字母的最低次幂。

例如：多项式 pa+pb+pc 中因式 p 即为多项式各项的公因式。