三角形中的射影定理
射影定理(又称欧几里德定理)俗称母子三角形。这是三角形中的一个基础知识点。
三角形中的射影定理
在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,直角边是这条直角边在斜边的射影和斜边的比例中项。
其中,从一点到一条直线所作垂线的垂足,叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段,叫做这条线段在这直线上的正投影。
简介
所谓射影,就是正投影。直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理):直角三角形中,斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
设直角三角形ABC,AB是斜边,CD是高,则AC的平方=AD×AB
CB的平方=BD×BA
CD的平方=AD×DB;
推出;AC/AB=AD/AC(比例式)
如图,∠ABC=90°,CD⊥AB,则AC^2=AD×AB,BC^2=BD×AB,CD^2=AD×BD。以上比例式合称射影定理。主要用于解决直角三角形斜边及定点与斜边的连线的问题,比如说给出AD和BD的长度求AC:BC。
直角三角形
内容
公式: 如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高,则有射影定理如下:
(1)(BD)^2=AD·DC, (2)(AB)^2=AD·AC , (3)(BC)^2=CD·CA 。
等积式(4)AB×BC=AC×BD(可用“面积法”来证明)
证明
射影定理简图(几何画板)
:(主要是从三角形的相似比推算来的)一、
在△BAD与△BCD中,∵∠ABD+∠CBD=90°,且∠CBD+∠C=90°,
∴∠ABD=∠C,
又∵∠BDA=∠BDC=90°
∴△BAD∽△CBD
∴ AD/BD=BD/CD
即BD^2=AD·DC。其余同理可得可证
注:由上述射影定理还可以证明勾股定理。
有射影定理如下:
AB^2=AD·AC,BC^2=CD·CA
两式相加得:
AB^2+BC^2=AD·AC+CD·AC =(AD+CD)·AC=AC^2 .
即AB^2+BC^2=AC^2(勾股定理结论)。
二、
已知:三角形中角A=90度,AD是高。
用勾股证射影
∵AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2,
∴2AD^2=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BD×CD.
运用此结论可得:AB^2=BD^2+AD^2=BD^2+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC, AC^2=CD^2+AD^2=CD^2+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.
综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。
任意三角形
内容
任意三角形射影定理又称“第一余弦定理” :
△ABC的三边是a、b、c,它们所对的角分别是A、B、C,则有
a=b·cosC+c·cosB,
b=c·cosA+a·cosC,
c=a·cosB+b·cosA。
注:以“a=b·cosC+c·cosB”为例,b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB,故名射影定理。
证明
证明1:设点A在直线BC上的射影为点D,则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD,且
BD=c·cosB,CD=b·cosC,∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB. 同理可证其余。
证明2:由正弦定理,可得:b=asinB/sinA,c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA
=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可证其它的。