手机端
当前位置: 91开学网

 > 

知识点

 > 

读书笔记

 > 

韦达定理推导过程

韦达定理推导过程

2023-09-25 11:20:10 541浏览

韦达定理是初中数学的重要定理,在方程求解过程中经常会被用到。想要更好的应用韦达定理,必然要先理解定理的推导过程,才能在题目中灵活运用。

韦达定理推导过程

设方程ax^2+bx+c=0的两根分别为x=m和x=n,这就说明,ax^2+bx+c可以分解因式成a(x-m)(x-n)的形式,即ax^2+bx+c=a(x-m)(x-n)=ax^2-a(m+n)x+amn。比较两边系数,可知,-a(m+n)=b,amn=c;故m+n=-b/a,mn=c/a。

韦达定理:一元二次方程两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数。韦达定理常被用于,不求方程的根,而计算或推理出与方程的根密切相关的对称式求值中。

已知a,b是方程x^2+1=7x,求(a^3-b^3)(a-b)。

解:由已知条件,利用韦达定理可知,a+b=7,ab=1,那么,(a^3-b^3)(a-b)=(a-b)^2*(a^2+ab+b^2)=[(a+b)^2-4ab][(a+b)^2-ab]=(7^2-4)(7^2-1)=45*48=2160。

韦达定理的起源:

法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系,提出了这条定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,人们把这个关系称为韦达定理。在韦达之前,方程中的系数是具体的数值,他首次系统地引入一般的符号代数,这是代数学中的重大进步。

韦达定理公式变形:

x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2。

1/x1²+1/x2²=(x1²+x2²)/x1x2。

x1²+x2²=(x1+x2)(x1²-x1x2+x2²)。

【定理拓展】

(1)若两根互为相反数,则b=0

(2)若两根互为倒数,则a=c

(3)若一根为0,则c=0

(4)若一根为1,则a+b+c=0

(5)若一根为-1,则a-b+c=0

(6)若a、c异号,方程一定有两个实数根

【例题】

已知p+q=198,求方程x^2+px+q=0的整数根。

解:设方程的两整数根为x1、x2,不妨设x1≤x2。由韦达定理,得

x1+x2=-p,x1x2=q。

于是x1·x2-(x1+x2)=p+q=198,

即x1·x2-x1-x2+1=199。

∴运用提取公因式法(x1-1)·(x2-1)=199。

注意到(x1-1)、(x2-1)均为整数,

解得x1=2,x2=200;x1=-198,x2=0。